У вас десятка и шестёрка. Дилер показывает десятку и уже проверил, что у него нет блэкджека. Если стол разрешает позднюю сдачу, можно закончить раздачу, потеряв половину начальной ставки. Из 10 поставленных единиц вам вернут 5. Остальные 5 составят чистый убыток. Сравнить его нужно со средним убытком, который дала бы игра той же руки.
Сдаться обычно можно только с двумя исходными картами, до добора, остановки, удвоения или разделения пары. Точный порядок ищите в правилах стола. Сумма 16 после третьей карты совпадает с суммой 10+6, но право на сдачу к этому моменту может быть уже потеряно. Сначала определите, какие действия разрешены, и только потом сравнивайте их математическое ожидание.
Ранняя и поздняя сдача
Ранняя сдача (early surrender) фиксирует потерю половины ставки даже при блэкджеке дилера. Стол может разрешать её только против определённых открытых карт. При поздней сдаче (late surrender) блэкджек дилера забирает всю начальную ставку у рассматриваемых здесь рук без натурального блэкджека. Если натуральный блэкджек дилера исключён, сдача стоит половину ставки. С открытой картой от 2 до 9 он невозможен уже по первой карте.
Момент объявления и момент расчёта могут различаться. Пример есть в разделе 8 правил блэкджека Массачусетской игровой комиссии. Против туза или карты достоинством десять ставку могут отложить до открытия второй карты дилера. Если у дилера блэкджек, он забирает ставку целиком, в остальных случаях возвращает половину. Из одного лишь порядка объявления нельзя понять, какая доля ставки вернётся.
Таблица ниже предполагает, что с открытым тузом или десяткой дилер сначала проверяет закрытую карту. Эта проверка называется peek. Если дилер получает вторую карту после действий игрока, прочитайте, что происходит с дополнительными ставками после удвоения и разделения, когда у дилера оказывается блэкджек. В таблице эта ветка уже исключена. Сравнение процедур есть в разборе игр с проверкой и без неё.
Что сравнивать с −0,50
Возьмите начальную ставку за единицу. Возврат половины означает, что вам отдают 0,50 единицы, а чистый результат равен −0,50. Найдите наибольшее математическое ожидание, или EV, среди разрешённых способов продолжить игру. Это может быть добор с последующим выбором действия, остановка, удвоение или разделение пары. Если лучший вариант тоже даёт −0,50, по математическому ожиданию он равен сдаче.
Для руки, которую разыгрывают на исходную ставку, обычная победа приносит единицу, поражение стоит единицу, а при ничьей ставку возвращают. Пусть W обозначает вероятность победы, T вероятность ничьей, L вероятность поражения. Тогда EV = W − L = 2W + T − 1. Если вероятность ничьей равна 4%, то выигрыш в 23% случаев даёт то же ожидание, что и сдача. Изменится доля ничьих, изменится и порог. После удвоения можно выиграть или потерять две единицы. После разделения разыгрывается несколько ставок. Для таких действий учитывайте итог по всем ставкам.
До проверки и после неё получаются разные числа. В учебном примере пусть у дилера до проверки есть 25% вероятности блэкджека. Если проверка исключила блэкджек, продолжение даёт EV −0,40. До проверки математическое ожидание продолжения равно 0,25 × (−1) + 0,75 × (−0,40) = −0,55. Ранняя сдача с результатом −0,50 здесь выгоднее. Если же сдаться можно только после проверки, стратегия сдачи всякий раз, когда она доступна, даёт 0,25 × (−1) + 0,75 × (−0,50) = −0,625 до проверки. Значит, после исключения блэкджека в этом примере лучше продолжить. Числа подобраны, чтобы показать порядок расчёта.
Таблица для отдельных начальных рук
При S17 дилер останавливается на мягких 17. При H17 он берёт карту на сумме 17 с тузом, который считается за 11. В таблице использована модель с возвратом карт, которую называют бесконечной колодой. Условия модели включают проверку дилера, выплату 3:2 за натуральный блэкджек, удвоение на разрешённых двух картах в том числе после разделения, до четырёх рук при повторном разделении восьмёрок и сдачу только до разделения. EV считается на начальную ставку при условии, что у дилера нет блэкджека. Числовые столбцы показывают лучший вариант игры без сдачи.
| Ваши две карты | Карта дилера | EV игры при S17 | Решение S17 | EV игры при H17 | Решение H17 |
|---|---|---|---|---|---|
| Жёсткие 15, без пары | 10 | -0,5044 | Сдаться | -0,5044 | Сдаться |
| Жёсткие 15, без пары | A | -0,4800 | Взять карту | -0,5069 | Сдаться |
| Жёсткие 16, без пары | 9 | -0,5093 | Сдаться | -0,5093 | Сдаться |
| Жёсткие 16, без пары | 10 | -0,5398 | Сдаться | -0,5398 | Сдаться |
| Жёсткие 16, без пары | A | -0,5171 | Сдаться | -0,5421 | Сдаться |
| Жёсткие 17, без пары | A | -0,4780 | Остановиться | -0,5156 | Сдаться |
| 8 + 8 | 10 | -0,4807 | Разделить | -0,4807 | Разделить |
| 8 + 8 | A | -0,3725 | Разделить | -0,5242 | Сдаться |
Для 10+6 против десятки нужна четвёртая строка. При S17 добор с последующим выбором лучшего действия даёт около -0,5398 на начальную единицу ставки. Остановка даёт чуть меньше. Сдача уменьшает ожидаемый убыток примерно на 0,04 единицы на каждую поставленную единицу. Для ставки в 10 единиц это около 0,40 единицы среднего убытка именно в этой ситуации. Фактическая потеря при сдаче составляет 5 единиц.
Последняя строка показывает, зачем отделять пару от суммы 16. При разделении восьмёрок появляется вторая ставка. Нужно сложить чистые результаты двух рук, включая дополнительные ставки при удвоении или повторном разделении. Против туза в модели S17 лучше разделить восьмёрки. При H17 сдача даёт большее ожидание даже с возможностью удвоения после разделения. Если условия стола отличаются, заново сравните разрешённые действия.
У жёстких 17 против туза в строке выше другая причина смены решения. При S17 дилер может остановиться с мягкими 17 и сыграть вничью с вашей рукой. При H17 он продолжает добор. После него возможны и более высокий итог дилера, и перебор. Чтобы понять, какое изменение перевесит, в расчёте складывают вероятности всех конечных результатов дилера. Для выбранной руки при H17 ожидание остановки опускается ниже порога, а при S17 остаётся выше.
Почему таблица не обещает ту же экономию на каждой ставке
Разница около 0,04 единицы относится к моменту, когда у вас уже есть конкретная рука против конкретной карты. До раздачи вам ещё нужно попасть в эту ситуацию, и часть раздач закончится раньше, если дилер обнаружит блэкджек. Чтобы измерить влияние сдачи на преимущество казино в целом, понадобятся вероятности всех начальных рук и открытых карт дилера. Для каждой подходящей руки разницу между сдачей и лучшим продолжением умножают на вероятность её появления и доступности действия. При смене колод, процедуры проверки или перечня разрешённых действий изменятся и эти веса. Из одной строки таблицы общий эффект получить нельзя.
Опубликованные расчёты для бесконечной колоды S17 позволяют сверить ожидания добора, остановки и разделения. В конечной колоде уже открытые карты меняют состав оставшихся. Для игры с четырьмя, шестью или восемью колодами пригодится таблица для соответствующего диапазона колод. В близких случаях выбор может зависеть и от конкретных карт, из которых сложилась сумма. Четыре знака после запятой показывают точность записи результата модели.
Что проверить у стола
Узнайте, разрешена ли сдача, в какой момент её принимают и что произойдёт со ставкой при блэкджеке дилера. Затем уточните S17 или H17, число колод и условия удвоения и разделения. За физическим столом спросите, как объявить сдачу, прежде чем прикасаться к картам и фишкам. В цифровой игре откройте справку и проверьте, доступна ли кнопка для вашей руки. Если сдача недоступна, сравните оставшиеся разрешённые действия. Как читать другие строки таблицы, объясняет руководство по базовой стратегии.
