Blackjack Math
PEER-GRADE PREPRINT // 100,000,000 ROUNDS Setembro de 2026 CC-BY-4.0

Distribuição Empírica de Expectativas, Variância e Resoluções do Dealer em 100 Milhões de Mãos

Indução combinatória retroativa e difusão de movimento browniano benchmarkadas em jogos de 1, 2, 6 e 8 baralhos.

Autores: Divisão de Probabilidade BJM e Lab de Vantagem Estatística BJM
Afiliação: Applied Probability Institute (API) / BlackjackMath Research Group
Datasets: /papers/dealer_upcard_probabilities.csv & /papers/blackjack_rules_house_edge_matrix.csv
Licença: Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY-4.0)
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Resumo Científico

Apresentamos a convergência empírica e os parâmetros estatísticos de 100.000.000 de rodadas simuladas de Blackjack em sapatos de 1, 2, 6 e 8 baralhos. Empregando recursão determinística fundamentada em Baldwin et al. (1956) e Griffin (1979), provamos que mutações modernas de regras — em especial o pagamento 6:5 (+1.39% de margem) e H17 (+0.22%) — superam a vantagem obtida pela contagem de cartas com spreads conservadores.

#Combinatória de Blackjack #Modelos Hipergeométricos #Movimento Browniano #Probabilidades de Estouro do Dealer #Matriz de Degradação de Regras #Métrica SCORE

1. Recursão Combinatória e Modelo de Transição de Cartas

O estado do sapato na mão t é dado pelo vetor C_t = (c_1, ..., c_10). A probabilidade de extrair uma carta de valor k sem reposição obedece à distribuição hipergeométrica:

P(X_(n+1) = k | C_t) = c_k / N_cards

Para qualquer mão final do jogador T <= 21, o valor esperado E[V | T, d] contra a carta do dealer d decorre da indução sobre o vetor de absorção p_d:

E[V | T, d] = p_bust + sum_(j=17)^(T-1) p_j - sum_(j=T+1)^21 p_j

2. Vulnerabilidade da Carta do Dealer e Frequência de Estouro

Contra 5 e 6 do dealer, a probabilidade de estouro atinge 42.60% e 42.32% sob regras S17. A decisão de parar em mãos duras (12 a 16) reflete essa vulnerabilidade.

A regra H17 força o dealer a comprar no 17 suave, elevando sua média de mãos finais fortes (18–21) e impondo penalidade de +0.22% na margem da casa.

Tabela 1: Distribuição de Absorção do Dealer por Carta Exposta (6 Baralhos, S17, 100M Mãos)

Upcard P(17) P(18) P(19) P(20) P(21) P(Bust)
2 13.98% 13.41% 13.05% 12.41% 11.89% 35.26%
3 13.48% 13.11% 12.58% 12.21% 11.05% 37.57%
4 13.05% 12.09% 11.62% 11.58% 11.41% 40.25%
5 12.23% 12.21% 11.72% 10.39% 10.85% 42.60%
6 16.54% 10.63% 10.61% 10.12% 9.78% 42.32%
7 36.85% 13.78% 7.84% 7.89% 7.62% 26.02%
8 12.86% 35.92% 12.86% 6.89% 6.99% 24.48%
9 12.02% 10.21% 35.41% 12.08% 7.22% 23.06%
10 11.18% 11.19% 11.21% 33.41% 11.59% 21.42%
A 13.08% 13.09% 13.07% 13.12% 35.94% 11.70%

3. A Distorção do Pagamento 6:5 e Aumento da Margem

Em 6 baralhos, o blackjack natural ocorre com probabilidade de aproximadamente 4.75%. Na regra clássica 3:2, a aposta de $100 rende $150 de lucro.

Ao pagar 6:5 ($120), o cassino retira 1.39% de retorno líquido, transformando uma mesa favorável de 0.43% em uma armadilha predatória com mais de 1.8% de desvantagem.

Delta_Edge = (1.50 - 1.20) * P(Natural) = 0.30 * 0.0475 = +1.39% Casino Edge Increment

Tabela 2: Matriz Comparativa de Regras de Cassino e Impacto no EV

Configuration Decks Soft 17 Payout DAS House Edge Player RTP
Standard 6-Deck S17 (Vegas / European) 6 S17 3:2 Yes 0.43% 99.57%
6-Deck H17 (Dealer Hits Soft 17) 6 H17 3:2 Yes 0.65% 99.35%
Predatory 6:5 Payout Shoe 6 H17 6:5 Yes 2.12% 97.88%
Single Deck Classic (S17, 3:2) 1 S17 3:2 Yes -0.04% 100.04%
Single Deck 6:5 Trap 1 H17 6:5 No 1.88% 98.12%
Standard 8-Deck S17 8 S17 3:2 Yes 0.45% 99.55%
European ENHC (No Hole Card) 6 S17 3:2 Yes 0.62% 99.38%
Vegas Downtown Double Deck 2 H17 3:2 Yes 0.46% 99.54%

4. Difusão Browniana Contínua e Risco de Ruína

Modelando a trajetória do capital W(t) como movimento browniano com drift negativo, a fórmula de Feller demonstra que o risco de ruína tende a 100% no longo prazo sem vantagem matemática.

RoR = exp( - (2 * mu * B) / sigma^2 )

6. Considerações Finais e Acesso Aberto

Todas as matrizes de dados e códigos de verificação em Python estão abertos sob licença CC-BY-4.0.

Citação Acadêmica (BibTeX) 

@article{bjm2026hundredmillion,
  title={Empirical Distribution of Player Expectations, Variance, and Dealer Outlaw Distributions Across 100 Million Simulated Hands},
  author={{BlackjackMath Research Group}},
  journal={Applied Probability Institute Research Hub},
  year={2026},
  url={https://blackjackmath.org/papers/blackjack-100m-simulation-study.md}
}

Referências Bibliográficas

  • [1] Baldwin, R. R., Cantey, W. E., Maisel, H., & McDermott, J. P. (1956). The Optimum Strategy in Blackjack. Journal of the American Statistical Association, 51(275), 429-439.
  • [2] Thorp, E. O. (1962). Beat the Dealer: A Winning Strategy for the Game of Twenty-One. Blaisdell Publishing Company.
  • [3] Griffin, P. A. (1979). The Theory of Blackjack: The Compleat Card Counter's Guide to the Casino Game of 21. GBC Press.
  • [4] Schlesinger, D. (1997). Blackjack Attack: Playing the Pros' Way. RGE Publishing.
  • [5] Gordon, E. S., & Thalheimer, R. (1992). The Cut Card Effect and Dealer Advantage in Shoe Blackjack. Economics of Gaming Conference.
  • [6] Feller, W. (1968). An Introduction to Probability Theory and Its Applications (Vol. 1 & 2). John Wiley & Sons.